Pré-cálculo Exemplos

$\frac{7}{y + 1} > 7$

Etapa 1

Subtraia $7$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{7}{y + 1} - 7$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 7$ e $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Fatore $7$ de $7 - 7 (y + 1)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Fatore $7$ de $7$ .

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.1.2

Fatore $7$ de $- 7 (y + 1)$ .

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.1.3

Fatore $7$ de $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ .

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.5

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.6

Combine expoentes.

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Etapa 2.4.6.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

Etapa 2.4.6.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

Etapa 2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 7 y = 0$ por $- 7$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 7 y = 0$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{- 7}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 7$ .

$y = 0$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$y = 0$

$y = - 1$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$y = 0, - 1$

Etapa 8

Encontre o domínio de $- \frac{7 y}{y + 1}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{7 y}{y + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$y + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $y < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $y$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{3}$ não é maior do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 0.5$

Etapa 10.2.2

Substitua $y$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $14$ é maior do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $y > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $y$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $2.\overline{3}$ não é maior do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < - 1$ Falso

$- 1 < y < 0$ Verdadeiro

$y > 0$ Falso

$y < - 1$ Falso

$- 1 < y < 0$ Verdadeiro

$y > 0$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < y < 0$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 1 < y < 0$

Notação de intervalo:

$(- 1, 0)$

Etapa 13