Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\arctan (x))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\sin (\arctan (x))$ é $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 3.6.5

Simplifique.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$