Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\frac{2 π}{3} + \frac{3 π}{4})$

Etapa 1

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 π}{4})$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{2 π \cdot 4 + 3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\sin (\frac{8 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sin (\frac{8 π + 9 π}{12})$

Etapa 5.3

Some $8 π$ e $9 π$ .

$\sin (\frac{17 π}{12})$

Etapa 6

O valor exato de $\sin (\frac{17 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{17 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Etapa 6.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Etapa 6.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 6.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Etapa 6.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Etapa 6.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.8

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.4.8.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 6.4.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 6.4.9

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 6.4.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 6.4.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.96592582 \dots$