Pré-cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 1.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Etapa 3.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Etapa 3.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.2.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Etapa 3.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Etapa 3.2.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Etapa 3.2.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Etapa 3.3

Divida $0$ por $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$