Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie o limite de $30$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + 5 - 1 \cdot 30}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 1 \cdot 30}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $30$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 30}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $25$ e $5$ .

$\frac{0}{30 - 30}$

Etapa 1.1.3.5.3

Subtraia $30$ de $30$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 30$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 1}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 1}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 \frac{5}{10 + 1}$

Etapa 4.1.2

Some $10$ e $1$ .

$2 (\frac{5}{11})$

Etapa 4.2

Multiplique $2 (\frac{5}{11})$ .

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Etapa 4.2.1

Combine $2$ e $\frac{5}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{11}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{11}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{10}{11}$

Forma decimal:

$0.\overline{90}$