Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{8} 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ e ${(\frac{1}{5})}^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{1}{5})}^{n}$ de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{1}{5}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{5}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $n$ em $5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$ .

$a = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$a = 1$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Etapa 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Etapa 5.2.2

Combine.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ para o numerador.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $5$ de $5^{8}$ .

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.5

Eleve $5$ à potência de $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.8

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.9

Combine $5$ e $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.11.1

Multiplique $5$ por $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11.2

Subtraia $1$ de $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Etapa 5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Fatore $4$ de $390624$ .

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{97656}{78125}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{97656}{78125}$

Forma decimal:

$1.2499968$

Forma de número misto:

$1 \frac{19531}{78125}$