Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{6^{n + 1}}$ e $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $6^{n}$ e $6^{n + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $6^{n + 1}$ de $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Etapa 2.2.3.2.4

Divida $6^{n - (n + 1)}$ por $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Etapa 2.2.6

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Etapa 2.2.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ por $n$ em $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Etapa 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Etapa 5.2.2

Combine.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ para o numerador.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $6$ de $6^{9}$ .

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.5

Eleve $6$ à potência de $8$ .

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.8

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.9

Combine $6$ e $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.11.1

Multiplique $6$ por $1679616$ .

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11.2

Subtraia $1$ de $10077696$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

Etapa 5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.8.1

Fatore $5$ de $10077695$ .

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2015539}{1679616}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2015539}{1679616}$

Forma decimal:

$1.19999988 \dots$

Forma de número misto:

$1 \frac{335923}{1679616}$