Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 10}^{60} 2 k$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $k$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 10}^{60} 2 k = \sum_{k = 1}^{60} 2 k - \sum_{k = 1}^{9} 2 k$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{60} 2 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ da soma.

$(2) \sum_{k = 1}^{60} k$

Etapa 2.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(2) (\frac{60 (60 + 1)}{2})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Some $60$ e $1$ .

$2 \frac{60 \cdot 61}{2}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $60$ por $61$ .

$2 (\frac{3660}{2})$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3660}{2})$

Etapa 2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$3660$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{9} 2 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ da soma.

$(2) \sum_{k = 1}^{9} k$

Etapa 3.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 3.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(2) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Some $9$ e $1$ .

$2 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $9$ por $10$ .

$2 (\frac{90}{2})$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{90}{2})$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$90$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$3660 - 90$

Etapa 5

Subtraia $90$ de $3660$ .

$3570$