Pré-cálculo Exemplos

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{16}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{4}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 5.3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{4^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{16}}$

Etapa 5.3.7

Para escrever $\frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16}}$

Etapa 5.3.8

Para escrever $- \frac{1}{16}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Etapa 5.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $144$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{16}{9 \cdot 16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Etapa 5.3.9.2

Multiplique $9$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Etapa 5.3.9.3

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{16 \cdot 9}}$

Etapa 5.3.9.4

Multiplique $16$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{144}}$

Etapa 5.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{16 - 9}{144}}$

Etapa 5.3.11

Subtraia $9$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{7}{144}}$

Etapa 5.3.12

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{144}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$

Etapa 5.3.13

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.13.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}}$

Etapa 5.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{7}}{12}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + \frac{1}{3})$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, \frac{1}{3})$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (\frac{1}{3}))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - \frac{1}{3})$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{7}}{12})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{7}}{12}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Etapa 8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Etapa 8.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Etapa 8.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1^{2}}{4^{2}}} \cdot 3$

Etapa 8.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{4^{2}}} \cdot 3$

Etapa 8.3.7

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{16}} \cdot 3$

Etapa 8.3.8

Para escrever $\frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16}} \cdot 3$

Etapa 8.3.9

Para escrever $- \frac{1}{16}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Etapa 8.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $144$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.10.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{16}{9 \cdot 16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Etapa 8.3.10.2

Multiplique $9$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Etapa 8.3.10.3

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{16 \cdot 9}} \cdot 3$

Etapa 8.3.10.4

Multiplique $16$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{144}} \cdot 3$

Etapa 8.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{16 - 9}{144}} \cdot 3$

Etapa 8.3.12

Subtraia $9$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{7}{144}} \cdot 3$

Etapa 8.3.13

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{144}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}} \cdot 3$

Etapa 8.3.14

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.14.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}} \cdot 3$

Etapa 8.3.14.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{7}}{12} \cdot 3$

Etapa 8.3.15

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.15.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{7}}{3 (4)} \cdot 3$

Etapa 8.3.15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 4} \cdot 3$

Etapa 8.3.15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Etapa 10