Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 4 y + 6 x - 8 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 y + 6 x - 8 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$6 x - 8 = - y^{2} + 4 y$

Etapa 1.1.1.3

Some $8$ aos dois lados da equação.

$6 x = - y^{2} + 4 y + 8$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{6} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 (3)} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 3} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{8}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $8$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 (4)}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$d = \frac{1}{- 3 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 3}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (- 1)}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 (\frac{2}{- 1})$

Etapa 1.2.3.2.8

Multiplique $\frac{2}{- 1}$ por $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.9

Divida $2$ por $- 1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Etapa 1.2.4.2.1.7

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{- 2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{4}{3} - - \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.10

Multiplique $- - \frac{2}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.10.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{4 + 2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $4$ e $2$ .

$e = \frac{6}{3}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $6$ por $3$ .

$e = 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y - 2)}^{2} + 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = 2$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, 2)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Etapa 5.3.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 2$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{7}{2}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(2, 2)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{7}{2}$

Etapa 10