Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 3 y - x + 4 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y - x + 4 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$- x + 4 = - y^{2} + 3 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - y^{2} + 3 y - 4$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (3 y)$ como $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 4$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $y^{2} - 3 y + 4$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 4$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$e = 4 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 4 - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{4 \cdot 4 - 9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = \frac{16 - 9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Subtraia $9$ de $16$ .

$e = \frac{7}{4}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{7}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, \frac{3}{2})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Foco: $(2, \frac{3}{2})$

Eixo de simetria: $y = \frac{3}{2}$

Diretriz: $x = \frac{3}{2}$

Etapa 10