Pré-cálculo Exemplos

$- 2 y^{2} + x - 4 y + 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1

Some $2 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$x - 4 y + 1 = 2 y^{2}$

Etapa 1.1.2

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$x + 1 = 2 y^{2} + 4 y$

Etapa 1.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = 2 y^{2} + 4 y - 1$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $2 y^{2} + 4 y - 1$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 4$

$c = - 1$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (2)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 2$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = - 1 - 2$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = 2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 1$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{23}{8}, - 1)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 1$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{25}{8}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 3, - 1)$

Foco: $(- \frac{23}{8}, - 1)$

Eixo de simetria: $y = - 1$

Diretriz: $x = - \frac{25}{8}$

Etapa 10