Pré-cálculo Exemplos

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y - 89 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $89$ aos dois lados da equação.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $16 x^{2} - 64 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 64$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 32}{16}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 32$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $16$ de $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 64$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $4096$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Etapa 1.3

Substitua $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ por $16 x^{2} - 64 x$ na equação $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} - 18 y = 89$

Etapa 1.4

Mova $- 64$ para o lado direito da equação, somando $64$ aos dois lados.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 18 y = 89 + 64$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 9 y^{2} - 18 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $324$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $9$ .

$e = 9$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ .

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$

Etapa 1.6

Substitua $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ por $- 9 y^{2} - 18 y$ na equação $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} + 9 = 89 + 64$

Etapa 1.7

Mova $9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 89 + 64 - 9$

Etapa 1.8

Simplifique $89 + 64 - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $89$ e $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 153 - 9$

Etapa 1.8.2

Subtraia $9$ de $153$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 144$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, - 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Etapa 5.3.3

Some $9$ e $16$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(5, - 1)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, - 1)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(5, - 1), (- 1, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(7, - 1)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - 1)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(7, - 1), (- 3, - 1)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Etapa 8.3.3

Some $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{4^{2}}{5}$

Etapa 9.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 2}{3} - 1$

Etapa 11.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8}{3} - 1$

Etapa 11.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 3}{3}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $3$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3}) - 1$

Etapa 12.2.1.4.2

Combine $2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} - 1$

Etapa 12.2.1.4.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Etapa 12.2.1.5

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Etapa 12.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 12.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 3}{3}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(2, - 1)$

Vértices: $(5, - 1), (- 1, - 1)$

Ponto imaginário: $(7, - 1), (- 3, - 1)$

Excentricidade: $\frac{5}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{16}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 15