Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $12$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 x^{2}}{12} + \frac{4 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{4 - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\sqrt{1}$

Etapa 5.3.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$1$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 2, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(2, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (2), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 2, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 1, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(1, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (1), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- 1, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Etapa 8.3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Excentricidade: $\frac{1}{2}$

Etapa 10