Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(3, - 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, - 6)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(3, 2), (3, - 6)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 3)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, - 7)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(3, 3), (3, - 7)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Etapa 8.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{4}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{5}$

Etapa 9.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Etapa 11.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

Etapa 11.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

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Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

Etapa 12.2.1.4.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Etapa 12.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Etapa 12.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

Etapa 12.2.1.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

Etapa 12.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(3, - 2)$

Vértices: $(3, 2), (3, - 6)$

Ponto imaginário: $(3, 3), (3, - 7)$

Excentricidade: $\frac{5}{4}$

Parâmetro focal: $\frac{9}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{4 x}{3} - 6$ , $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Etapa 15