Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 10$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\sqrt{100 - {(6)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{100 - 1 \cdot 36}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\sqrt{100 - 36}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $36$ de $100$ .

$\sqrt{64}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$8$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 10)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 10)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (10))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 10)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 10)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 10)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 8)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 8)$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (8))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - 8)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 8)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}}{10}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - 6^{2}}}{10}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - 1 \cdot 36}}{10}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{\sqrt{100 - 36}}{10}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $36$ de $100$ .

$\frac{\sqrt{64}}{10}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{10}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{8}{10}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $8$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (4)}{10}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 10)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 8)$

Excentricidade: $\frac{4}{5}$

Etapa 10