Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} + 6 y - 2 x + 13 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 y - 2 x + 13 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$- 2 x + 13 = - y^{2} - 6 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (1)} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 1} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{3 y}{1} + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.4

Divida $3 y$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{- 13}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{13}{2}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{1}$

Etapa 1.2.3.2.3

Divida $3$ por $1$ .

$d = 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{13 - 9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.3

Subtraia $9$ de $13$ .

$e = \frac{4}{2}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $4$ por $2$ .

$e = 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} + 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 3$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 3$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(2, - 3)$

Foco: $(\frac{5}{2}, - 3)$

Eixo de simetria: $y = - 3$

Diretriz: $x = \frac{3}{2}$

Etapa 10