Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} + x + y - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Complete o quadrado de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Substitua ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $x^{2} + x$ na equação $x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + y = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Mova $- \frac{1}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{4}$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 5

Complete o quadrado de $y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 6

Substitua ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $y^{2} + y$ na equação $x^{2} + y^{2} + x + y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 7

Mova $- \frac{1}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{4}$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 8

Simplifique $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1 + 1}{4}$

Etapa 8.2

Some $1$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.3

Reescreva a expressão.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1 + 1}{2}$

Etapa 8.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Some $1$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 8.5.2

Divida $2$ por $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$

Etapa 9

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 10

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{2}$

Etapa 11

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Etapa 12

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Raio: $1$

Etapa 13