Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{11} 5 \cdot 2^{i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2^{i + 1}$ e $2^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$r = 2$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $5 \cdot 2^{i}$ .

$a = 5 \cdot 2^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Avalie o expoente.

$a = 5 \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$a = 10$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$10 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $2$ à potência de $11$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2048$ .

$10 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $2048$ de $1$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 2}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$10 (\frac{- 2047}{- 1})$

Etapa 5.3

Divida $- 2047$ por $- 1$ .

$10 \cdot 2047$

Etapa 5.4

Multiplique $10$ por $2047$ .

$20470$