Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 49$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = 49 - x^{2}$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{49 - x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{49 - x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Etapa 6.2

Defina $7 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $7 + x$ como igual a $0$ .

$7 + x = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 6.3

Defina $7 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $7 - x$ como igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $7 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- x = - 7$

Etapa 6.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 7, 7$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $49$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 7 \leq x \leq 7$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Etapa 8

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 7 \leq y \leq 7}$

Etapa 9

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 7, 7], {x | - 7 \leq x \leq 7}$

Intervalo: $[- 7, 7], {y | - 7 \leq y \leq 7}$

Etapa 10