Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 7$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 3$

$h = - 2$

$k = - 7$

Etapa 1.2

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 7)$

Etapa 1.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

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Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, - \frac{83}{12})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 2$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{85}{12}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{85}{12}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{85}{12}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 5$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 12 (- 3) + 5$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- 3) = 27 + 12 (- 3) + 5$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 27 - 36 + 5$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.2.1

Subtraia $36$ de $27$ .

$f (- 3) = - 9 + 5$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 9$ e $5$ .

$f (- 3) = - 4$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 3$ é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 5$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 5$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 5$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 48 - 48 + 5$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $48$ de $48$ .

$f (- 4) = 0 + 5$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $5$ .

$f (- 4) = 5$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 4$ é $5$ .

$y = 5$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 5$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 + 12 (- 1) + 5$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 + 12 (- 1) + 5$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 3 - 12 + 5$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.8.2.1

Subtraia $12$ de $3$ .

$f (- 1) = - 9 + 5$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 9$ e $5$ .

$f (- 1) = - 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 5$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 5$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 12 (0) + 5$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.11.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Etapa 2.11.2.2

Some $0$ e $5$ .

$f (0) = 5$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 0$ é $5$ .

$y = 5$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{85}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Etapa 4