Pré-cálculo Exemplos

$y - 3 = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 2$

$k = 3$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 3)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, \frac{13}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{11}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, 3)$

Foco: $(- 2, \frac{13}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = \frac{11}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, 3)$

Foco: $(- 2, \frac{13}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = \frac{11}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 7$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 9 + 4 (- 3) + 7$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 12 + 7$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $12$ de $9$ .

$f (- 3) = - 3 + 7$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (- 3) = 4$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 3$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 7$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 16 + 4 (- 4) + 7$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 16 + 7$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $16$ de $16$ .

$f (- 4) = 0 + 7$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $7$ .

$f (- 4) = 7$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 4$ é $7$ .

$y = 7$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 7$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 + 4 (- 1) + 7$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 4 + 7$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (- 1) = - 3 + 7$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (- 1) = 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = - 1$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} + 4 (0) + 7$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0) + 7$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Etapa 2.11.2.2

Some $0$ e $7$ .

$f (0) = 7$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 0$ é $7$ .

$y = 7$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 7 \\ - 3 & 4 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, 3)$

Foco: $(- 2, \frac{13}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 7 \\ - 3 & 4 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}$

Etapa 4