Pré-cálculo Exemplos

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $4$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 3.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2

Encontre o período de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 3.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{9}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $4$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{9}$ na expressão.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.4

Divida $0$ por $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Etapa 6.1.2.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.1.2.1.6

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Etapa 6.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{18}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{18}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 6.2.2.1.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Etapa 6.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{4 π}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{9}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.3

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Etapa 6.3.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Etapa 6.3.2.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.3.2.1.7

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Etapa 6.3.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{11 π}{18}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{18}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.2

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Etapa 6.4.2.1.8

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 6.4.2.1.9

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Etapa 6.4.2.1.9.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Etapa 6.4.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{7 π}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{9}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.3

Subtraia $π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Etapa 6.5.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Etapa 6.5.2.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.5.2.1.7

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Etapa 6.5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $4$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Etapa 8