Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Combine $- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{13}{2}$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - 6)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - 7$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - 7$

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - 7$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.1.1

Escreva $- (0)$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $\frac{- (0)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{- (0)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 3.2.1.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique $- (0) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.3.2.2

Multiplique $0$ por $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Divida $- 12$ por $2$ .

$f (0) = - 6$

Etapa 3.2.5

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 0$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Escreva $- (- 1)$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $\frac{- (- 1)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $\frac{- (- 1)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 3.5.1.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.5.1.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $- (- 1) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.3.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Etapa 3.5.4.2

Subtraia $12$ de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Etapa 3.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.5.5

A resposta final é $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Escreva $- (2)$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $\frac{- (2)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $\frac{- (2)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 3.8.1.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.1.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.3.2

Multiplique $- (2) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.3.3

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Etapa 3.8.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Etapa 3.8.4.3

Divida $- 12$ por $2$ .

$f (2) = - 6$

Etapa 3.8.5

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Escreva $- (4)$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $\frac{- (4)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $\frac{- (4)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 3.11.1.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 3.11.1.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.11.1.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.11.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.11.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.11.3.2

Multiplique $- (4) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.11.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.11.3.3

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Etapa 3.11.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Subtraia $8$ de $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Etapa 3.11.4.2

Subtraia $12$ de $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.11.4.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$f (4) = - 2$

Etapa 3.11.5

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 4$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Etapa 5