Pré-cálculo Exemplos

$y = 2 \sec (2 x)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Em qualquer $y = \sec (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = 2 \sec (2 x)$ . Defina a parte interna da função secante, $b x + c$ , para $y = a \sec (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = 2 \sec (2 x)$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função secante $2 x$ como igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.4.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.5

O período básico para $y = 2 \sec (2 x)$ ocorrerá em $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , em que $- \frac{π}{4}$ e $\frac{3 π}{4}$ são assíntotas verticais.

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 1.6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.6.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = 2 \sec (2 x)$ ocorrem em $- \frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ e a cada $\frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 1.8

A secante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \sec (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

$d = 0$

Etapa 3

Como o gráfico da função $s e c$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período de $2 \sec (2 x)$ .

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Etapa 4.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{0}{2}$

Etapa 5.3

Divida $0$ por $2$ .

Mudança de fase: $0$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $π$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $π$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 8