Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$

Etapa 1

Fatore $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Etapa 1.3

Substitua $0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $0.\overline{3}$ no polinômio.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.2

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.4

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.6

Some $0.\overline{1}$ e $0.\overline{2}$ .

$0.\overline{3} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 19$ por $0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 6.33333333 + 6$

Etapa 1.3.8

Subtraia $6.33333333$ de $0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Etapa 1.3.9

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6}{3 x - 1}$

Etapa 1.5

Divida $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ por $3 x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$6$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 18 x + 6$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 6$

Etapa 1.6

Escreva $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (3 x - 1) (x^{2} + x - 6)$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (3 x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (3 x - 1) (x - 2) (x + 3)$