Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} = \frac{1}{2} x$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} x = y^{2}$ .

$\frac{1}{2} x = y^{2}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x) = 2 y^{2}$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 y^{2}$

Etapa 4

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Complete o quadrado de $2 y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

Etapa 4.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Etapa 4.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{2}$

Etapa 4.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Etapa 4.1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{1}$

Etapa 4.1.1.3.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$d = 0$

Etapa 4.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Etapa 4.1.1.4.2.1.3

Divida $0$ por $8$ .

$e = 0 - 0$

Etapa 4.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Etapa 4.1.1.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$e = 0$

Etapa 4.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 y^{2}$ .

$2 y^{2}$

Etapa 4.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = 2 y^{2}$

Etapa 4.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Etapa 4.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Etapa 4.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 4.6

Encontre o foco.

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Etapa 4.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 4.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{8}, 0)$

Etapa 4.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 0$

Etapa 4.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 4.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 4.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{1}{8}$

Etapa 4.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{8}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{8}$

Etapa 5

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 5.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 0.70710678)$ .

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Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.1.3

Converta $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em decimal.

$= 0.70710678$

Etapa 5.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 0.70710678)$ .

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Etapa 5.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.2

A resposta final é $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.3

Converta $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em decimal.

$= - 0.70710678$

Etapa 5.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2) = \frac{2}{2}$

Etapa 5.3.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$f (2) = 1$

Etapa 5.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 5.3.3

Converta $1$ em decimal.

$= 1$

Etapa 5.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 5.4.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (2) = - 1 \cdot 1$

Etapa 5.4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2) = - 1$

Etapa 5.4.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 5.4.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 5.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Etapa 6

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Etapa 7