Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 x + 4 y - 4 = - y^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$- 4 x - 4 = - y^{2} - 4 y$

Etapa 1.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$

Etapa 2

Divida cada termo em $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.3.1.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.3.1.3

Divida $4$ por $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

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Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Etapa 3.1.1.3.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = - 1 - 1$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$e = - 2$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 2)}^{2} - 2$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique dividindo os números.

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Etapa 3.5.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 3.5.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

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Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, - 2)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 2$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - 3$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - 3$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - 3$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, 0)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 4.1.3

Converta $0$ em decimal.

$= 0$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 4.2.3

Converta $- 4$ em decimal.

$= - 4$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, 0.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3

Converta $- 2 + 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= 0.82842712$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 4.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.3

Converta $- 2 - 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 4.82842712$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Etapa 6