Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y - 9 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $4 x^{2} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Etapa 1.3

Substitua $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} - 16 x$ na equação $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - y^{2} - 6 y = 9$

Etapa 1.4

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = 9 + 16$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- y^{2} - 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Etapa 1.5.3.2.2

Reescreva $- 1 \cdot - 3$ como $- - 3$ .

$d = - - 3$

Etapa 1.5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$d = 3$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $9$ .

$e = 9$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Etapa 1.6

Substitua $- {(y + 3)}^{2} + 9$ por $- y^{2} - 6 y$ na equação $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 9 + 16$

Etapa 1.7

Mova $9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9 + 16 - 9$

Etapa 1.8

Simplifique $9 + 16 - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $9$ e $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

Etapa 1.8.2

Subtraia $9$ de $25$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $16$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, - 3)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Etapa 5.3.3

Some $4$ e $16$ .

$\sqrt{20}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - 3)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 3)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(4, - 3), (0, - 3)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Etapa 8.3.1.3

Some $4$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Etapa 8.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8.3.2.2

Divida $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\sqrt{5}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{8}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Multiplique $\frac{8}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 9.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 9.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Etapa 11.2

Simplifique $2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = 2 \cdot (x - 2) - 3$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2 - 3$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = 2 x - 4 - 3$

Etapa 11.2.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$y = 2 x - 7$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Etapa 12.2

Simplifique $- 2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - 2 \cdot (x - 2) - 3$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 2 - 3$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = - 2 x + 4 - 3$

Etapa 12.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$y = - 2 x + 1$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = 2 x - 7, y = - 2 x + 1$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(2, - 3)$

Vértices: $(4, - 3), (0, - 3)$

Ponto imaginário: $(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Excentricidade: $\sqrt{5}$

Parâmetro focal: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Assíntotas: $y = 2 x - 7$ , $y = - 2 x + 1$

Etapa 15