Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{6^{1} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{6 + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{6 + 16}$

Etapa 5.3.2.2

Some $6$ e $16$ .

$\sqrt{22}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{6}, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{22}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{22}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6^{1} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{6 + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 16}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.3

Some $6$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.2

Combine $\sqrt{22}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{22}{6}}$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $22$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Fatore $2$ de $22$ .

$\sqrt{\frac{2 (11)}{6}}$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{11}{3}}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $\sqrt{\frac{11}{3}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.3.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3.6.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.3.6.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Etapa 8.3.7.2

Multiplique $11$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{33}}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{22}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{16}{\sqrt{22}}$ por $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{16}{\sqrt{22}}$ por $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{22}$ à potência de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{22}$ à potência de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{22}}^{2}$ como $22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{22}$ como $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $16$ e $22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Fatore $2$ de $16 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{22}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $2$ de $22$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 (11)}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 \cdot 11}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{6})}{3}$

Etapa 12.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Ponto imaginário: $(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Assíntotas: $y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Etapa 15