Pré-cálculo Exemplos

${(x - 2)}^{2} = - 8 (y + 3)$

Etapa 1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ .

$- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 (y + 3)}{- 8} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 (y + 3)}{- 8} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y + 3$ por $1$ .

$y + 3 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 3 = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{8}$

Etapa 1.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{8} - 3$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x - 2)}^{2} - 3$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 2$

$k = - 3$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

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Etapa 5.3.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - 5)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - 1$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(2, - 3)$

Foco: $(2, - 5)$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = - 1$

Etapa 10