Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{8} 7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ de ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{7}{10}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{10}$ .

$a = 7 \frac{7^{0}}{10^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 7 \frac{1}{10^{0}}$

Etapa 3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = 7 \cdot 1$

Etapa 3.2.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$a = 7$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$7 \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$ por $\frac{10}{10}$ .

$7 (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$7 \frac{10 (1 - {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{7}{10})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{7}{10})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{10}$ para o numerador.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$7 \frac{10 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{10}$ .

$7 \frac{10 + 10 (- \frac{7^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7^{8}}{10^{8}}$ para o numerador.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $10$ de $10^{8}$ .

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$7 \frac{10 + \frac{- 7^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.4

Eleve $7$ à potência de $8$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.5

Eleve $10$ à potência de $7$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $5764801$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 \frac{10 - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.9

Combine $10$ e $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Multiplique $10$ por $10000000$ .

$7 \frac{\frac{100000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $5764801$ de $100000000$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 - 7}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $7$ de $10$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{3}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$7 (\frac{94235199}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Fatore $3$ de $94235199$ .

$7 (\frac{3 (31411733)}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$7 (\frac{3 \cdot 31411733}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$7 (\frac{31411733}{10000000})$

Etapa 5.8

Multiplique $7 (\frac{31411733}{10000000})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Combine $7$ e $\frac{31411733}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 31411733}{10000000}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $7$ por $31411733$ .

$\frac{219882131}{10000000}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{219882131}{10000000}$

Forma decimal:

$21.9882131$

Forma de número misto:

$21 \frac{9882131}{10000000}$