Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Etapa 2.1.2

Expanda $(x - 2) (9 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Etapa 2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Etapa 2.1.3.2

Some $9 x$ e $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Etapa 2.2

Reescreva $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Etapa 2.3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Etapa 2.3.3

Subtraia $10$ de $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Etapa 2.3.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Fatore $- 1$ de $11 x - x^{2} - 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Reordene $11 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Etapa 2.3.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Etapa 2.3.4.1.3

Fatore $- 1$ de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Etapa 2.3.4.1.4

Reescreva $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 2.3.4.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Etapa 2.3.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Fatore $x^{2} - 11 x + 28$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $- 11$ .

$- 7, - 4$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.3.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3.6

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.3.6.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.3.7

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3.7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.3.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 7) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 4$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log (11 x - x^{2} - 18)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore $- 1$ de $11 x - x^{2} - 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Reordene $11 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Etapa 3.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Etapa 3.2.2.1.4

Reescreva $- 18$ como $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Etapa 3.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Etapa 3.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 11 x + 18$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $- 11$ .

$- 9, - 2$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Etapa 3.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Etapa 3.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.4

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 3.2.4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 3.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 9) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, 2$

Etapa 3.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 3.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.2.8.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Etapa 3.2.8.1.3

O lado esquerdo $- 18$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.2.8.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 3.2.8.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Etapa 3.2.8.2.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 3.2.8.3.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Etapa 3.2.8.3.3

O lado esquerdo $- 30$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Etapa 3.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 9$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(2, 9)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

False

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0.77815125$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $1.07918124$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $7 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $7 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $0.77815125$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.5

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 5.5.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Etapa 5.5.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.5.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

False

Etapa 5.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 4$ ou $7 < x < 9$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Notação de intervalo:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Etapa 8