Pré-cálculo Exemplos

$6 e^{2 x} + 5 e^{x} - 4 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$6 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 4 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$6 u^{2} + 5 u - 4 = 0$

Etapa 1.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$6 u^{2} + 5 (u) - 4 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $5$ como $- 3$ mais $8$

$6 u^{2} + (- 3 + 8) u - 4 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 u^{2} - 3 u + 8 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 u^{2} - 3 u) + 8 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (2 u - 1) + 4 (2 u - 1) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (3 u + 4) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (3 e^{x} + 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$3 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 3

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 e^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 e^{x} = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 4

Defina $3 e^{x} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3 e^{x} + 4$ como igual a $0$ .

$3 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 e^{x} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 e^{x} = - 4$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (- 4)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 4)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $3 e^{x} = - 4$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 e^{x} - 1) (3 e^{x} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.69314718 \dots$