Pré-cálculo Exemplos

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

Etapa 1

Substitua $\csc^{2} (x)$ por $\cot^{2} (x) + 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

Etapa 2

Substitua $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

Etapa 3

Subtraia $6 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

Etapa 4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

Etapa 5

Subtraia $8$ de $1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Etapa 6

Fatore $u^{2} - 6 u - 7$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u - 7$ como igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Etapa 8.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$u = 7$

Etapa 9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 7) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 7, - 1$

Etapa 11

Substitua $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = 7, - 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cot (x) = 7$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (7)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Avalie $arccot (7)$ .

$x = 0.14189705$

Etapa 13.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Etapa 13.4

Resolva $x$ .

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Etapa 13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

Etapa 13.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Etapa 13.4.3

Some $3.14159265$ e $0.14189705$ .

$x = 3.2834897$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 13.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cot (x) = - 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $arccot (- 1)$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Etapa 14.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 14.4.1

Some $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Etapa 14.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ é positivo e coterminal com $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 14.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide as soluções.

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Etapa 16.1

Consolide $0.14189705 + π n$ e $3.2834897 + π n$ em $0.14189705 + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16.2

Consolide $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{7 π}{4} + π n$ em $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$