Pré-cálculo Exemplos

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Expanda $(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Reescreva $- 1 \sec (x)$ como $- \sec (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1$ .

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Etapa 2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - (\sec (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\sec (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sec (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sec (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sec (x) = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $arcsec (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.4

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 4.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\tan (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\tan (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\tan (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 5.2.5.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

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Etapa 7.1

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.2

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$