Pré-cálculo Exemplos

$\sin (x) + \cos (x) = 1$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(1)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.2

Expanda $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.3.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.4

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Etapa 2.6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 x) = {(1)}^{2}$

Etapa 3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + \sin (2 x) = 1$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $\sin (2 x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) = 1 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 9.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Verifique as soluções, substituindo-as em $\sin (x) + \cos (x) = 1$ e resolvendo.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$