Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + 38 x^{2} - 2 x + 37 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 2 x^{3} - 2 x + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (1)$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 38 x^{2} + 37 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 38 x^{2} + 37 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 38 u + 37 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 38 u + 37$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $37$ e cuja soma é $38$ .

$1, 37$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 37) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 37)$ .

$(x^{2} + 1) (- 2 x + x^{2} + 37) = 0$

Etapa 2.1.8

Reordene os termos.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 37) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 37 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 2 x + 37$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 2 x + 37$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 37 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 37 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 37$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 37)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 37$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $37$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 148}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $148$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 144$ como $- 1 (144)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (144)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $12$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 12 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 12 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 12 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 6 i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + 6 i, 1 - 6 i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 37) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, 1 + 6 i, 1 - 6 i$

Etapa 3