Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 17$ por $- 1$ .

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.6

Multiplique $35$ por $1$ .

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

Etapa 4.1.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $2$ e $17$ .

$19 + 35 - 9 - 45$

Etapa 4.2.2

Some $19$ e $35$ .

$54 - 9 - 45$

Etapa 4.2.3

Subtraia $9$ de $54$ .

$45 - 45$

Etapa 4.2.4

Subtraia $45$ de $45$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 17)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 19)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(19)$ sob o próximo termo no dividendo $(35)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(54)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 54)$ sob o próximo termo no dividendo $(9)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 45)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(45)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 45)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $27$ .

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $- 19$ por $9$ .

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.6

Subtraia $171$ de $54$ .

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $54$ por $3$ .

$- 117 + 162 - 45$

Etapa 7.1.1.3.8

Some $- 117$ e $162$ .

$45 - 45$

Etapa 7.1.1.3.9

Subtraia $45$ de $45$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ por $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 13 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 13 x^{2} + 39 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $15 x - 45$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e cuja soma é $b = - 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 x$ .

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.2

Reescreva $- 13$ como $- 3$ mais $- 10$

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.4

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 7.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ .

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

Etapa 10