Pré-cálculo Exemplos

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{2}{x}$ dos dois lados da desigualdade.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Etapa 2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Etapa 2.4

Para escrever $\frac{x + 3}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Etapa 2.5

Para escrever $- \frac{2}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Etapa 2.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{x + 3}{x + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Etapa 2.6.2

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.6.3

Reordene os fatores de $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8.5

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 2.8.6

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.8.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.8.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x + 1) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 9.2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $- 0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1.5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 1.5$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $- 1.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $2.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.5.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Etapa 11.5.3

O lado esquerdo $1.4$ é maior do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x < - 1$ ou $0 < x \leq 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Etapa 14