Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $2$ .

$3 + 1 + 8 - 12$

Etapa 4.2.2

Some $3$ e $1$ .

$4 + 8 - 12$

Etapa 4.2.3

Some $4$ e $8$ .

$12 - 12$

Etapa 4.2.4

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 3)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 12)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 2 x$ de $- 8 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} + u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.9

Fatore $- 2 u + u^{2} - 3$ usando o método AC.

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Etapa 9.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 9.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 11.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 12

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 12.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 13

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

Etapa 15