Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$

Etapa 1

Defina $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$ como igual a $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} + 5 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- x$ de $5 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 5 + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 5)$ .

$- x (x^{2} - 5) + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + u^{2} - 7 u + 10 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} - 7 u + 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 2) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} - 5$ de $- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} - 5$ de $- x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 5) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore $- u + u^{2} - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} - 5) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

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Etapa 2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 5) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Forma decimal:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 2, - 1$

Etapa 4