Pré-cálculo Exemplos

$p (x) = 12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$

Etapa 1

Defina $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ como igual a $0$ .

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 5, \pm 0.41\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 1.25$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$12 {(- 1)}^{3} + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$12 \cdot - 1 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$- 12 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 12 + 16 \cdot 1 + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $16$ por $1$ .

$- 12 + 16 + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.6

Some $- 12$ e $16$ .

$4 + 1 - 5$

Etapa 2.1.1.3.7

Some $4$ e $1$ .

$5 - 5$

Etapa 2.1.1.3.8

Subtraia $5$ de $5$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5}{x + 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$5$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$12 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$12 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} + 4 x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x - 5$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$12 x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 (x) - 5) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $- 6$ mais $10$

$(x + 1) (12 x^{2} + (- 6 + 10) x - 5) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (12 x^{2} - 6 x + 10 x - 5) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((12 x^{2} - 6 x) + 10 x - 5) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (6 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (6 x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$6 x + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $6 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $6 x + 5$ como igual a $0$ .

$6 x + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $6 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 5$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $6 x = - 5$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = - 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{6}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - \frac{5}{6}$

Etapa 3