Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ como uma equação.

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{9}{y^{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{9}{y^{2}} = x$ .

$\frac{9}{y^{2}} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{2}, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{2}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{9}{y^{2}} = x$ por $y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{9}{y^{2}} = x$ por $y^{2}$ .

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$9 = x y^{2}$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x y^{2} = 9$ .

$x y^{2} = 9$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $x y^{2} = 9$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $x y^{2} = 9$ por $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{9}{x}$

Etapa 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{9}{x}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.4.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.4.4.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.4.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 3.4.4.4.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 3.4.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 3.4.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 3.4.4.4.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Defina o denominador em $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

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Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{9}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ é o domínio de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 6