Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ como uma equação.

$y = \frac{x}{x + 2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y}{y + 2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{y + 2} = x$ .

$\frac{y}{y + 2} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 2, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 2, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 2$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y}{y + 2} = x$ por $y + 2$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y}{y + 2} = x$ por $y + 2$ .

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = x (y + 2)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x y + x \cdot 2$

Etapa 3.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = x y + 2 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y - x y = 2 x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $y - x y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (1 - x) = 2 x$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = 2 x$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x}{x + 2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{1 - (\frac{x}{x + 2})}$

Etapa 5.2.3

Combine $2$ e $\frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{1 - \frac{x}{x + 2}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2 - x}{x + 2}}$

Etapa 5.2.4.3

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x + 2}{x + 2}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{x - x + 2}{x + 2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.4.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 + 2}{x + 2}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $0$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{2}{x + 2}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 5.2.7.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Etapa 5.2.7.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{2 x}{1 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x}{1 - x}}{(\frac{2 x}{1 - x}) + 2}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + 2}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + \frac{2 (1 - x)}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.3

Reordene os termos.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x + 2 (1 - x)$ .

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Etapa 5.3.4.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.4.1.2

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{2}))$

Etapa 5.3.6

Multiplique $\frac{- x + 1}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

Etapa 5.3.8

Multiplique $\frac{x}{1 - x}$ por $- x + 1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $- x + 1$ e $1 - x$ .

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Etapa 5.3.9.1

Reordene os termos.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 5.3.9.3

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$