Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ como uma equação.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{2 y + 1}{y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{2 y + 1}{y} = x$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 y + 1}{y} = x$ por $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 y + 1 = x y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$2 y + 1 - x y = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y - x y = - 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $2 y - x y$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (2 - x) = - 1$ por $2 - x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (2 - x) = - 1$ por $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.3.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.4

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Etapa 5.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Etapa 5.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Etapa 5.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{1}{2 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Multiplique $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

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Etapa 5.3.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Etapa 5.3.4.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Etapa 5.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Etapa 5.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Etapa 5.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Etapa 5.3.5.4

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 5.3.5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Etapa 5.3.5.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Etapa 5.3.5.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Etapa 5.3.5.5

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.3.5.5.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Etapa 5.3.5.5.2

Subtraia $x$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$