Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ como uma equação.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + y}$ como ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 3.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Etapa 3.5.2.2

Some $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o inverso de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.2

Expanda $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Multiplique $\sqrt{1 + x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.3

Multiplique $\sqrt{1 + x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.4

Multiplique $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.4.1

Eleve $\sqrt{1 + x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{1 + x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ como $1 + x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.1.5.5

Simplifique.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.2

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.3.3

Some $\sqrt{1 + x}$ e $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Etapa 5.2.4.2

Some $0$ e $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Etapa 5.2.4.3

Subtraia $2 \sqrt{1 + x}$ de $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.4

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} - 2 x)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.3.4.1.1

Reorganize os termos.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Etapa 5.3.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Etapa 5.3.4.1.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Etapa 5.3.4.1.4

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Etapa 5.3.4.1.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Etapa 5.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.5.1

Some $1$ e $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Etapa 5.3.5.2

Reordene $2$ e $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o inverso de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$