Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Substitua ${(x + 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} + 4 x$ na equação $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Etapa 1.4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 4 + 4$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Etapa 1.6

Substitua $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ na equação $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

Etapa 1.7

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

Etapa 1.8

Simplifique $- 4 + 4 + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 4$ e $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 0 + 4$

Etapa 1.8.2

Some $0$ e $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $4$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = - 2$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 2, 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{4 - 1}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 2 + 2, 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 1)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 2 - (2), 1)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 4, 1)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 2 - (\sqrt{3}), 1)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10