Pré-cálculo Exemplos

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Etapa 1

Divida cada termo em $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ por $\sec (\frac{θ}{2})$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ por $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (\frac{θ}{2})$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\sec (\frac{θ}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Etapa 1.3.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.3.1

Eleve $\cos (\frac{θ}{2})$ à potência de $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $\cos (\frac{θ}{2})$ à potência de $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Etapa 1.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Etapa 1.3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Etapa 2

Reescreva a equação como $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Etapa 7

Resolva $θ$ em $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

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Etapa 7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Etapa 7.3

Defina o numerador como igual a zero.

$θ = 0$

Etapa 7.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Etapa 7.5

Resolva $θ$ .

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Etapa 7.5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.5.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - 0)$ .

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Etapa 7.5.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = 4 π$

Etapa 7.6

Encontre o período de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Etapa 7.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 7.6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 7.7

O período da função $\cos (\frac{θ}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $θ$ em $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Etapa 8.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Etapa 8.4.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = 2 π$

Etapa 8.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Etapa 8.6

Resolva $θ$ .

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Etapa 8.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Etapa 8.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Etapa 8.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = 2 (2 π - π)$

Etapa 8.6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.6.2.2.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Etapa 8.7

Encontre o período de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Etapa 8.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 8.7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 8.8

O período da função $\cos (\frac{θ}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$θ = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$