Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique e reordene o polinômio em ordem decrescente para usar a regra de Descartes.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 6) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Etapa 1.5

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Etapa 1.6.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Etapa 1.7

Expanda $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8

Simplifique os termos.

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Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.1.3.1

Mova $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.8.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.8.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.1.7.1

Mova $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.8

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.9

Multiplique $4$ por $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.10

Multiplique $4$ por $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Etapa 1.8.1.11

Multiplique $36$ por $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Etapa 1.8.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.8.2.1

Subtraia $12 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Etapa 1.8.2.2

Subtraia $48 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Etapa 1.8.2.3

Some $- 44 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Etapa 1.8.2.4

Some $- 48 x$ e $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Etapa 2

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Etapa 3

Como há $2$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $2$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes positivas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $(2 - 2)$ ).

Raízes positivas: $2$ ou $0$

Etapa 4

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.7

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Etapa 5.10

Multiplique $- 1$ por $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Etapa 6

Como há $2$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $2$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $2 - 2$ ).

Raízes negativas: $2$ ou $0$

Etapa 7

O número possível de raízes positivas é $2$ ou $0$ , e o número possível de raízes negativas é $2$ ou $0$ .

Raízes positivas: $2$ ou $0$

Raízes negativas: $2$ ou $0$